XXII математическая регата. 9 классы.

                                                                   (Задачи 2014 г.)

 

1.1. Существует ли три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-нибудь натурального числа, отличного от единицы? (6 баллов)

1.2. АВСD четырехугольник. M, N, P, Q – последовательные середины сторон АВ, ВС, СD, DA. Точки Х, Y – середины диагоналей АС и ВD. Доказать, что треугольник NPX равен треугольнику QMY. (6 баллов)

1.3. Какое наибольшее число прямоугольников 1 на 4 можно разместить без наложений в квадрате 10 на 10? (6 баллов)

2.1. Квадратный трехчлен у = ах^2 + bx+ c не имеет корней и а + b + с > 0. Найдите знак коэффициента с. (7 баллов)

2.2. В прямоугольнике АВСD точка М – середина стороны ВС, точка N – середина стороны СD. Р – точка пересечения отрезков DМ и ВN. Докажите, что угол МАN равен углу ВРМ. (7 баллов)

2.3. На регату пришли 2014 команд. Все команды назвались различными натуральными числами. Миша посчитал все цифры в названиях команд и сказал, что никакая цифра не встречается более 660 раз. Прав ли Миша? (7 баллов)

3.1. Костя решил записать в тетрадку все трехзначные числа. На первом листе Костя написал числа с суммой цифр равной одному, на втором – равной двум и т.д. После того как в тетрадке оказались записаны все трехзначные числа, Костя выписал на доску по самому маленькому числу с каждого листа. Чему равна сумма выписанных чисел?